质数

质数:在大于1的整数中,如果只包含1和它本身这两个约数,就被称之为质数

(1)质数的判定——试除法

bool is_prime(int n) {
	if (n < 2) return false;
    for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {
        if(n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度O(sqrt(n)) 一定是sqrt(n)

(2)分解质因数——试除法

从小到大枚举所有数

n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子,因此可以单独把质因子拿出来,这样就可以把时间复杂度降低到sqrt(n) (一般logn ~ sqrt(n))

void divide(int x) {
    for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {
        if(n % i == 0) {
            int s = 0;
            while(n % i == 0) {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d 
", i, s);
        }
    }
    
    if(n > 1) printf("%d %d
", n, 1);
    puts("");
}

(3)筛质数

a. 埃式筛法

时间复杂度O(nloglogn)

void get_primes(int n ) {
	for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {
        if(!st[i]) {
            // 如果没有被筛过,说明是质数
            primes[cnt ++ ] = i;
            
            //把每个质数的倍数筛掉
        	for(int j = i + i; j <= n; j += i ) st[j] = true;
        }
    }
}
b. 线性筛法

保证每个数只会被它的最小质因子筛掉

void get_primes(int n) {
    for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {
        //如果是质数,放到数组中
        if(!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        //从小到大枚举所有质因子
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break; //primes[j]是i的最小质因子
        }
    }
}

当n = 1e6,线性筛法和埃式筛法时间差不多,当n = 1e7,线性筛法更快

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